Informationen zum Unterrichtsstil


Wolfgang Renner , Privatlehrer für Naturwissenschaften     (Letzte Änderung: 25. Oktober 2017)
Metallkugel
Wenn potenzielle Schüler oder deren Eltern bei mir zum ersten mal anrufen, um sich über mein Nachhilfeangebot zu informieren, dann sage ich immer, dass man sich am besten einmal zu einem Unterrichtstermin trifft. Dann spürt der Schüler am direktesten, ob es ihm bei mir gefällt oder nicht. Mit Hilfe des Internets, lässt sich jedoch eine kostenlose Vorabinformation geben. Mit den folgenden sechs Beispielen gebe ich einen ersten Einblick in meine Schule. Der im folgenden dargestellte Unterrichtsstil sollte Interesse wecken, sodass eine harmonische Zusammenarbeit gesichert ist. (Das Lesen dieser Beispieltexte mag trocken wirken. Dennoch lässt sich so am informativsten vermitteln, welche qualitativen Eigenschaften mein Unterricht hat.)

1. Beispiel:   Zur Schönschrift


Mathematik wird auf kariertem Papier betrieben. Es ist offensichtlich, dass man einen Großbuchstaben kästchenhoch schreibt, und halbhohe Kleinbuchstaben etwa 3/5 der unteren Kästchenhälfte füllen. Ebenso werden Formeln mit ihren Zahlen, Variablen und Operatoren mittig zwischen zwei horizontale Kästchenlinien eingefügt. - In der sechsten Klasse wird die Bruchrechnung eingeführt. Die Schüler werden nun gelehrt, den Bruchstrich auf die Kästchenkante zu zeichnen. Damit wird jedoch ein konsistentes und ordentliches Schriftbild zerstört: Bei einer gemischten Zahl z.B. 3¼ müsste die ganze Zahl über die Kästchenkante geschrieben werden. Man könnte jedoch auch, wie bisher, alle einfachen Zahlen in die Kästchen malen, und nur die Bruchstriche auf die Kästchenkante legen. Das führt jedoch zu einer hässlichen Verzerrung des Schriftbildes, da nun die Brüche üblicherweise nach unten abrutschen. Wenn man jedoch die Bruchstriche (entgegen der Schulempfehlung) in die Kästchenmitte zeichnet, ergibt sich ein problemlos schönes Schriftbild. Das Gleichheitszeichen sowie die Verknüpfungsoperatoren (+,-,* usw.) werden daher immer, wie bei einzeiligen Formeln, in die Kästchenmitte gesetzt. In dieser Form werden auch Doppelbrüche und komplexe Formeln konsistent und graphisch ansprechend darstellbar. Ich empfehle daher meinen Schülern diese Schreibweise zu übernehmen. Ganz allgemein ist in den Naturwissenschaften und bei technischen Zeichnungen ein klares und leserliches Schriftbild in Blockschrift (technische Normschrift) für gute Arbeit unentbehrlich und üblich. Da in der Grundschule nur Schreibschrift geübt wird, gebe ich manchen Schülern Blockschriftübungen mit.   Zurück

2. Beispiel:   Zum Formelaufbau


Der optimale und logisch korrekte Aufbau einer Formel erzwingt folgendes Layout: Links steht die gesuchte Lösungsvariable, dann folgt die allgemeine algebraische Lösungsformel, in die dann die gegebenen Zahlenwerte eingesetzt werden. Ganz rechts steht schließlich der gesuchte Zahlenwert. Die folgende Formel bestimmt die kinetische Energie eines Radfahres mit der Masse m = 70 Kg und einer Geschwindigkeit von v = 36 km/h = 10 m/s :
Ekin  =  1/2 * m * v2  =  1/2 * 70 Kg * (10 m/s)2  =  3500 Nm  =  3500 J
In Schulbüchern wird dieser Formelaufbau manchmal benutzt. Oft jedoch wird ohne Kenntnis der algebraischen Lösungsformel das Zahlenwertergebnis über unstrukturierte Rechnungen ermittelt. Dadurch bleibt die allgemeingültige algebraische Lösungsformel unbestimmt. Das hat Nachteile: Erstens kann die Lösungsformel nicht für verschiedene Zahlenwerte wiederholt benutzt werden. Zweitens übt das Herleiten der algebraischen Lösungsformel den Umgang mit der angewandten Mathematik und das Verständnis für den formalen Aufbau des gegebenen Problems. Daher bevorzuge ich diesen optimierten Umgang mit Formeln. Intelligentere Schüler können mit ihrem eigenen Urteilsvermögen den Vorteil der algebraischen Bearbeitung und der korrekten Schreibweise leicht nachvollziehen.   Zurück

3. Beispiel:   Zum systematischen Lösungsweg


Textaufgaben bereiten Schülern besondere Probleme. Das liegt zum einen an dem größeren Schwierigkeitsgrad, zum anderen jedoch auch an der Tatsache, dass in der Schule die formal korrekte Lösungsstrategie nicht klar genug gelehrt wird. - Ein Aufgabenbeispiel:
"Ein rechteckiger Bauplatz hat eine Fläche von 900 Quadratmeter, die Breite beträgt 4/9 der Länge. Wieviel Meter betragen die Abmessungen des Platzes ?"
Der korrekte Lösungsweg beginnt mit dem Sammeln der gegebenen Größen wie Fläche, Länge und Breite des Bauplatzes. Sie werden im Deklarationsteil mit Variablennamen assoziert. Dann werden die Beziehungen als algebraische Formeln notiert und dann so verknüpft und umgestellt, dass die gesuchte Lösungsvariable links frei steht und rechts die algebraische Lösungsformel erscheint. Die vorgegebenen Zahlenwerte werden dann eingesetzt und die numerischen Resultate berechnet. Ein Antwortsatz kann formuliert werden:
Fläche:  A = 900 m2      <==  Deklarationsteil     
Länge:   a = ?
Breite:  b = ?                Es gilt:  b = 4/9 * a

A = a * b  =  a * (4/9*a)  =  4/9 * a2        | vertauschen

 4/9 * a2  =  A                               | : 4/9  bzw. * 9/4

       a2  =  9/4 * A                         | Wurzel ziehen  W(x)

       a  =  W(9/4 * A)  =  3/2 * W(900 m2)   =  3/2 * 30 m  =  45 m 

       b  =  4/9 * a     =  4/9 * 45 m        =  20 m

Antwort: "Die Länge des Bauplatzes beträgt  45 m  und die Breite  20 m ."
Übrigens entspricht diese formal korrekte Bearbeitung einer Textaufgabe dem formalen Aufbau eines Computerprogramms: Auch dort werden im Deklarationsteil die Variablen definiert und im folgenden Anweisungsteil die Berechnungen durchgeführt. Die Äquivalenzumformungskommentare hinter den senkrechten Strichen entsprechen den üblichen Programmkommentaren. Der Antwortsatz entspricht der Datenausgabe zum Bildschirm oder einem anderen Ausgabemedium.   Zurück

4. Beispiel:   Zur Nutzung standardisierter Notationen


Ich führe die international standardisierten Notationen (Symbolschreibweisen) der Wissenschaft von Anfang an ein: In der Chemie wird beispielsweise die (Labor) Masse mit dem Formelzeichen m, die Molare Masse mit M, die Molzahl, das heißt Stoffmenge mit n und die Teilchenzahl mit N in Formeln notiert. Das führt zu folgenden Formeln:

n(H2O) = 2 mol | Das ist ein beliebig vorgegebener Wert
N(H2O) = n(H2O) * NA = 2 mol * 6.022*1023 Teilchen/mol = 1.2044*1024 Teilchen
M(H2O) = 2 * M(H) + M(O) = 2 * 1.0080 g/mol + 15.9994 g/mol = 18.0154 g/mol
m(H2O) = n(H2O) * M(H2O) = 2 mol * 18.0154 g/mol = 36.0308 g


In der Schule werden diese Notationen üblicherweise auch eingeführt. Dennoch erlebe ich immer wieder Schüler, die verblüfft feststellen, wie systematisch und übersichtlich man damit arbeiten kann.
Die Teilchenzahl pro mol (Avogadro Konstante) NA = 6.022*1023 wird meistens mit dem Formelzeichen NA beschrieben. Das passt konsistent zu dem Formelzeichen N der absoluten Teilchenzahl. Manche Schulbücher benutzen jedoch L statt NA mit Bezug auf Loschmidt, der wie Avogadro an der chemischen Teilchentheorie gearbeitet hat. Da die höhere theoretische Chemie den Buchstaben L auch für den Teilchenbahndrehimpuls nutzt, ergibt sich eine vermeidbare Doppeldeutigkeit von L mit schlechterer Variablenkonsistenz. Daher benutze ich in meinem Unterricht grundsätzlich nur NA für die Avogadro- bzw. Loschmidtkonstante. In diesem Sinne weiche ich manchmal von den Schulnotationen ab.   Zurück

5. Beispiel:   Zur didaktisch optimierten Variablenwahl


Wir betrachten eine Kurvendiskussion: Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f(x) vierten Grades. Dieses Polynom hat nur gerade Potenzen und ist damit spiegelsymmetrisch zur Y-Achse. Die Nullstellenbestimmung einer biquadratischen Gleichung ist mit der Substitution y = x2 und der pq-Formel problemlos ausführbar. Ansonsten müssen erste Nullstellen geraten werden und das Polynom wird sukzessive mit Polynomdivision in die Linearfaktorform umgewandelt. Die Funktion und ihre ersten drei Ableitungen lauten:

f(x)    = x4 - 10*x2 + 9 = (x2-9)*(x2-1)   => (x-(-3))*(x-(-1))*(x-(+1))*(x-(+3))
f'(x)   = 4*x3 - 20*x    = 4*x*(x2-5)       \   (x-XN1)*(x-XN2)*(x-XN3)*(x-XN4)
f''(x)  = 12*x2 - 20     = 12*(x2-5/3)       \   Polynomform => Linearfaktorform
f'''(x) = 24*x

Nullstellen:   XN1 = -3 ; XN2 = -1 ; XN3 = +1 ; XN4 = +3


Bei der Nullstellenbestimmung ergibt sich meistens eine zufällige Reihenfolge der X-Achsenschnittpunkte, z.B. X1 = +1, X2 = -1, X3 = +3 und X4 = -3. Ordnet man diese Nullstellen in aufsteigender Reihenfolge, ergeben sich manche formalen Vorteile und eine eindeutige Reihenfolge der Lösungsmengenelemente die wir nun mit XN1, XN2,.. bezeichnen: L = {XN1,XN2,XN3,XN4} = {-3,-1,+1,+3}. Ebenso lässt sich die Bestimmung der Extrem- und Wendestellen mit einer optimierten Wahl der Variablennamen formal konsistent und didaktisch klar durchführen:

Extremstellen: f'(x) = 4*x*(x2-5) = 0 | notwendige Bedingung für Extremum

XE1 = -W(5) ; YE1 = f(XE1) = -16   ;   f''(XE1) = +40 > 0 => TiefPunkt
XE2 =   0   ; YE2 = f(XE2) =  +9   ;   f''(XE2) = -20 < 0 => HochPunkt
XE3 = +W(5) ; YE3 = f(XE3) = -16   ;   f''(XE3) = +40 > 0 => TiefPunkt

E1:TP(XE1|YE1) = E1:TP(-W(5)|-16) ;   E2:HP(0|+9) ;   E3:TP(+W(5)|-16)

Wendestellen: f''(x) = 12*(x2-5/3) = 0 | notwendige Bedingung für Wendepunkt

XW1 = -W(5/3) ; YW1 = f(XW1) = -44/9 ; f'''(XW1) = -30.1 < 0 => LR-Wendepunkt
XW2 = +W(5/3) ; YW2 = f(XW2) = -44/9 ; f'''(XW2) = +30.1 > 0 => RL-Wendepunkt

W1:LR(XW1|YW1) = W1:LR(-W(5/3)|-44/9) ;   W2:RL(+W(5/3)|-44/9)


W1:LR(XW1|YW1) bedeutet Wendepunkt 1 mit Links -> Rechts Krümmungswechsel. - Diese Kurvendiskussion soll als Beispiel zeigen, dass ich versuche alle auftretenden Größen mit selbst redenden Variablennamen leicht verständlich zu beschreiben.   Zurück

6. Beispiel:   Von der Schule abweichende Lerninhalte


Abschließend möchte ich einen Blick auf die Oberstufenstochastik und die sich dabei ergebenden Probleme werfen: Beispielsweise gibt es die Menge M = C(n,k) = {C(n,k;1),...,C(n,k;m)} der mit i = 1,2,...,m adressierten Kombinationen C(n,k;i) = (ei1,ei2,..,eik)i von n Elementen aus der Elementmeng N = {e1,e2,...,en} zur Klasse k ohne Wiederholungen. Nun wählen wir als Elementmenge N = {1,2,3} oder auch {A,B,C} mit n=3 und bilden (beliebig geordnete) k-Tupel (ei1,ei2)i mit k=2 und bekommen: M = C(3,2) = {..,C(3,2;i),..} = {(1,2)1,(1,3)2,(2,3)3}. Die Anzahl der möglichen Kombinationen m = imax wird mit dem Kardinalzahloperator "card()" beschrieben:   m = card(M) = card(C(3,2)) = card({(1,2)1,(1,3)2,(2,3)3}) = 3.   Keine Beunruhigung bitte !   Die obige Beschreibung ist zwar korrekt und sinnvoll, jedoch für die Schule nicht wesentlich. Dennoch stecken hinter den Begriffen, die in der Schule bespielsweise mit Urnenmodellen eingeführt werden, solche wohl strukturierte, bekannte und klar benannte Objekte. Ich erkläre diese Strukturen, um damit einen systematischen Überblick zu verschaffen. Außerdem ergibt sich damit ein weiterer strategischer Zugang zur Lösung von Kombinationsaufgaben, die in der Schule oft ziemlich unbeholfen mit Auszähltechniken und Baumdiagrammen bearbeitet werden.
Die Struktur der elementarkombinatorischen Mengen und die Bedeutung des Kardinalzahloperators wird in der Schule häufig nicht systematisch genug erklärt. Der Kardinalzahloperator ist jedoch der Schlüssel um die Stochastik und insbesondere die elementare Kombinatorik algebraisch fassbar zu machen. Vermutlich wird eine systematische algebraische Fassung vermieden, um die Stochastik "nicht zu schwierig" werden zu lassen. Für mein Empfinden ergibt sich jedoch genau das Gegenteil: Da der Schüler kein Handwerkszeug bekommt, um die Stochastik algebraisch zu fassen, kann er auch keine Textaufgaben bearbeiten, weil diese immer mit einer algebraischen Formelaufstellung begonnen und gelöst werden. Außerdem bleibt das sowieso schwierige Wesen der Stochastik ohne algebraische Beschreibung diffus im Verborgenen. Ich führe daher die algebraischen Notationen der Stochastik grundsätzlich ein. Erst dann kann man sinnvoll Themen aus der Praxis begreifen und bearbeiten. Als problematisch erweist sich auch (insbesondere in der Stochastik) die Buchstabenwahl für die Variablen und Formelzeichen in den unterschiedlichen Schulbüchern. Auch hier bin ich auf der Suche nach einer optimalen Wahl, welche ich auch bevorzugt benutze. Die begründbar optimierte Buchstabenwahl kollidiert jedoch öfters mit den ungünstigeren Vorgaben aus der Schule. Dabei entsteht immer der Konflikt, ob man diese wohl optimierten, oder die von den Schulbüchern gegebenen Notatationen nutzen soll. Dem Schüler wird bei exakter Übernahme der Schulnotationen, die Verwirrung erspart, sich in eine andere Buchstabensystematik einzugewöhnen. Auf der anderen Seite kommen manche Strukturen durch eine bessere Buchstabenwahl viel klarer zum Vorschein. Das ist ein unlösbarer Konflikt.   Zurück

Fazit


Diese sechs Beispiele sollen verdeutlichen, dass ich bestrebt bin, die Lerninhalte in einer konsistenten algebraischen Fassung, gemäß den internationalen Wissenschaftsnormen zu vermitteln. für den Schüler bedeutet dies eine zukunftsfähige Begegnung mit wissenschaftlicher Arbeit in einem zusammenhängenden und verständlichen Gesamtgebäude. Mein persönliches Interesse diese Darstellungsform (die teilweise etwas vom Schulstil abweicht) zu wählen, beruht auch auf der Absicht, ein eigenständiges Lehrmittelgebäude als Autor aufzubauen. Ich prüfe daher die benutzten Notationen auf ihre Logik, Darstellungsqualität und didaktischen Potenz.
Schüler die mich mit Interesse am wissenschaftlichen Lernen und Bereitschaft zur Mitarbeit aufsuchen, werden Gefallen an meinem Unterrichtsangebot finden. Die Erfahrung zeigt, dass sich auch ein Gewinn von zwei bis drei Notenstufen erreichen lässt. Das ist jedoch nicht garantierbar: Es gibt Schüler denen mein Unterrichtsangebot nicht behagt, die keinen Fleiß zeigen und wo sich auch kein persönliches Sympathieverhältnis aufbauen lässt. Dann fallen meine Unterrichtsbemühungen meistens auch auf weniger fruchtbaren Boden.
Eine sinnvolle pädagogische Förderung von lernschwachen Schülern ist nicht meine Spezialität: Es gibt wissenschaftliche Untersuchungen zu speziellen Lernstörungen, wie die Rechtschreibschwäche Legasthenie, oder Rechenschwächen, die man als Dyskalkulie bzw. Arithmasthenie bezeichnet. Aus diesen Untersuchungen sind auch spezielle Förderungskonzepte hervorgegangen, die von entsprechend spezialisierten Nachhilfeschulen praktiziert werden. Ich bin diesbezüglich ein Laie und plane auch in Zukunft kein derartiges Lehrangebot.
Mein Unterrichtsstil und mein persönliches Unterrichtsinteresse spricht eher den Leistungskursschüler an. Schüler die ein schwächeres Leistungsniveau haben, jedoch bereit sind mitzuarbeiten, sind trotzdem herzlich willkommen. Sollten meine Unterrichtsbemühungen erfolglos bleiben, kann ein Spezialinstitut zur Förderung lernschwacher Schüler möglicherweise bessere Erfolge erreichen. Zu bemerken ist jedoch, dass der Unterrichtserfolg (auch in Noten) häufig nur deswegen ausbleibt, weil die Schüler erkennbar nicht sorgfältig genug arbeiten. Eine bessere Disziplin kann von mir jedoch lediglich angemahnt werden.

Ich sitze nicht im laufenden Schulunterricht, das heißt, dass ich nicht weiß was aktuell bearbeitet wird. Daher muss der Schüler wissen und sagen was er lernen will. Ich weiß auch anfänglich nicht welche Fachqualifikation und Lernfähigkeit ein Schüler mitbringt. Daher fange ich meistens schon in der ersten Stunde an, den Schüler selbstständig Übungen machen zu lassen. Nur so kann ich den Schüler kennen lernen und ihn sinnvoll unterstützen. Wie ich oben erwähnt habe, gibt es manchmal begründeten Anlass vom Schulstil abzuweichen. Es ist jedoch in vielen Fällen günstiger gemäß den Vorgaben des Schullehrers zu arbeiten. Da ich den Lehrer und seinen individuellen Unterrichtsstil meistens nicht kenne, muss der Schüler über das Unterrichtsgeschehen Auskunft erteilen. Üblicherweise geschieht dies, indem wir gemeinsam die Aufzeichnungen im Schulheft und den aktuellen Lehrbuchabschnitt lesen und dann besprechen. Schüler sollten nach Möglichkeit immer eigene Aufgaben mitbringen. Ansonsten kann ich nur Aufgaben aus meinen Schulbüchern zum Besprechen und Üben anbieten.   Zurück