Fläche: A = 900 m2 <== Deklarationsteil
Länge: a = ?
Breite: b = ? Es gilt: b = 4/9 * a
A = a * b = a * (4/9*a) = 4/9 * a2 | vertauschen
4/9 * a2 = A | : 4/9 bzw. * 9/4
a2 = 9/4 * A | Wurzel ziehen W(x)
a = W(9/4 * A) = 3/2 * W(900 m2) = 3/2 * 30 m = 45 m
b = 4/9 * a = 4/9 * 45 m = 20 m
Antwort: "Die Länge des Bauplatzes beträgt 45 m und die Breite 20 m ."
Übrigens entspricht diese formal korrekte Bearbeitung einer Textaufgabe dem formalen Aufbau eines
Computerprogramms: Auch dort werden im Deklarationsteil die Variablen definiert und im folgenden
Anweisungsteil die Berechnungen durchgeführt. Die Äquivalenzumformungskommentare hinter den
senkrechten Strichen entsprechen den üblichen Programmkommentaren. Der Antwortsatz entspricht der
Datenausgabe zum Bildschirm oder einem anderen Ausgabemedium. Zurück
4. Beispiel: Zur Nutzung standardisierter Notationen
Ich führe die international standardisierten Notationen (Symbolschreibweisen) der Wissenschaft von
Anfang an ein: In der Chemie wird beispielsweise die (Labor) Masse mit dem Formelzeichen m, die Molare
Masse mit M, die Molzahl, das heißt Stoffmenge mit n und die Teilchenzahl mit N in Formeln notiert.
Das führt zu folgenden Formeln:
n(H2O) = 2 mol | Das ist ein beliebig vorgegebener Wert
N(H2O) = n(H2O) * NA = 2 mol *
6.022*1023 Teilchen/mol = 1.2044*1024 Teilchen
M(H2O) = 2 * M(H) + M(O) = 2 * 1.0080 g/mol + 15.9994 g/mol
= 18.0154 g/mol
m(H2O) = n(H2O) * M(H2O) = 2 mol * 18.0154 g/mol = 36.0308 g
In der Schule werden diese Notationen üblicherweise auch eingeführt. Dennoch erlebe ich immer
wieder Schüler, die verblüfft feststellen, wie systematisch und übersichtlich man damit
arbeiten kann.
Die Teilchenzahl pro mol (Avogadro Konstante) NA = 6.022*1023 wird meistens mit
dem Formelzeichen NA beschrieben. Das passt konsistent zu dem Formelzeichen N der absoluten
Teilchenzahl. Manche Schulbücher benutzen jedoch L statt NA mit Bezug auf Loschmidt,
der wie Avogadro an der chemischen Teilchentheorie gearbeitet hat. Da die höhere theoretische
Chemie den Buchstaben L auch für den Teilchenbahndrehimpuls nutzt, ergibt sich eine vermeidbare
Doppeldeutigkeit von L mit schlechterer Variablenkonsistenz. Daher benutze ich in meinem Unterricht
grundsätzlich nur NA für die Avogadro- bzw. Loschmidtkonstante. In diesem Sinne
weiche ich manchmal von den Schulnotationen ab. Zurück
5. Beispiel: Zur didaktisch optimierten Variablenwahl
Wir betrachten eine Kurvendiskussion: Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f(x) vierten Grades. Dieses
Polynom hat nur gerade Potenzen und ist damit spiegelsymmetrisch zur Y-Achse. Die Nullstellenbestimmung
einer biquadratischen Gleichung ist mit der Substitution y = x2 und der pq-Formel problemlos
ausführbar. Ansonsten müssen erste Nullstellen geraten werden und das Polynom wird sukzessive
mit Polynomdivision in die Linearfaktorform umgewandelt. Die Funktion und ihre ersten drei Ableitungen
lauten:
f(x) = x4 - 10*x2 + 9 = (x2-9)*(x2-1)
=> (x-(-3))*(x-(-1))*(x-(+1))*(x-(+3))
f'(x) = 4*x3 - 20*x = 4*x*(x2-5)
\ (x-XN1)*(x-XN2)*(x-XN3)*(x-XN4)
f''(x) = 12*x2 - 20 = 12*(x2-5/3)
\ Polynomform => Linearfaktorform
f'''(x) = 24*x
Nullstellen: XN1 = -3 ; XN2 = -1 ;
XN3 = +1 ; XN4 = +3
Bei der Nullstellenbestimmung ergibt sich meistens eine zufällige Reihenfolge der X-Achsenschnittpunkte,
z.B. X1 = +1, X2 = -1, X3 = +3 und X4 = -3. Ordnet man diese
Nullstellen in aufsteigender Reihenfolge, ergeben sich manche formalen Vorteile und eine eindeutige
Reihenfolge der Lösungsmengenelemente die wir nun mit XN1, XN2,.. bezeichnen:
L = {XN1,XN2,XN3,XN4} = {-3,-1,+1,+3}. Ebenso lässt sich
die Bestimmung der Extrem- und Wendestellen mit einer optimierten Wahl der Variablennamen formal
konsistent und didaktisch klar durchführen:
Extremstellen: f'(x) = 4*x*(x2-5) = 0 |
notwendige Bedingung für Extremum
XE1 = -W(5) ; YE1 = f(XE1) = -16 ;
f''(XE1) = +40 > 0 => TiefPunkt
XE2 = 0 ; YE2 = f(XE2)
= +9 ; f''(XE2) = -20 < 0 => HochPunkt
XE3 = +W(5) ; YE3 = f(XE3) = -16 ;
f''(XE3) = +40 > 0 => TiefPunkt
E1:TP(XE1|YE1) = E1:TP(-W(5)|-16) ;
E2:HP(0|+9) ; E3:TP(+W(5)|-16)
Wendestellen: f''(x) = 12*(x2-5/3) = 0 |
notwendige Bedingung für Wendepunkt
XW1 = -W(5/3) ; YW1 = f(XW1) = -44/9 ;
f'''(XW1) = -30.1 < 0 => LR-Wendepunkt
XW2 = +W(5/3) ; YW2 = f(XW2) = -44/9 ;
f'''(XW2) = +30.1 > 0 => RL-Wendepunkt
W1:LR(XW1|YW1) = W1:LR(-W(5/3)|-44/9) ; W2:RL(+W(5/3)|-44/9)
W1:LR(XW1|YW1) bedeutet Wendepunkt 1 mit Links -> Rechts Krümmungswechsel. - Diese
Kurvendiskussion soll als Beispiel zeigen, dass ich versuche alle auftretenden Größen mit selbst
redenden Variablennamen leicht verständlich zu beschreiben. Zurück
6. Beispiel: Von der Schule abweichende Lerninhalte
Abschließend möchte ich einen Blick auf die Oberstufenstochastik und die sich dabei ergebenden
Probleme werfen: Beispielsweise gibt es die Menge M = C(n,k) = {C(n,k;1),...,C(n,k;m)} der mit i = 1,2,...,m
adressierten Kombinationen C(n,k;i) = (ei1,ei2,..,eik)i
von n Elementen aus der Elementmeng N = {e1,e2,...,en} zur Klasse k ohne
Wiederholungen. Nun wählen wir als Elementmenge N = {1,2,3} oder auch {A,B,C} mit n=3 und bilden
(beliebig geordnete) k-Tupel (ei1,ei2)i mit k=2 und bekommen:
M = C(3,2) = {..,C(3,2;i),..} = {(1,2)1,(1,3)2,(2,3)3}. Die Anzahl der
möglichen Kombinationen m = imax wird mit dem Kardinalzahloperator "card()" beschrieben:
m = card(M) = card(C(3,2)) = card({(1,2)1,(1,3)2,(2,3)3}) = 3.
Keine Beunruhigung bitte ! Die obige Beschreibung ist zwar korrekt und
sinnvoll, jedoch für die Schule nicht wesentlich. Dennoch stecken hinter den Begriffen, die in der
Schule bespielsweise mit Urnenmodellen eingeführt werden, solche wohl strukturierte, bekannte und
klar benannte Objekte. Ich erkläre diese Strukturen, um damit einen systematischen Überblick zu
verschaffen. Außerdem ergibt sich damit ein weiterer strategischer Zugang zur Lösung von
Kombinationsaufgaben, die in der Schule oft ziemlich unbeholfen mit Auszähltechniken und
Baumdiagrammen bearbeitet werden.
Die Struktur der elementarkombinatorischen Mengen und die Bedeutung des Kardinalzahloperators wird in
der Schule häufig nicht systematisch genug erklärt. Der Kardinalzahloperator ist jedoch der
Schlüssel um die Stochastik und insbesondere die elementare Kombinatorik algebraisch fassbar zu
machen. Vermutlich wird eine systematische algebraische Fassung vermieden, um die Stochastik "nicht zu
schwierig" werden zu lassen. Für mein Empfinden ergibt sich jedoch genau das Gegenteil: Da der
Schüler kein Handwerkszeug bekommt, um die Stochastik algebraisch zu fassen, kann er auch keine
Textaufgaben bearbeiten, weil diese immer mit einer algebraischen Formelaufstellung begonnen und
gelöst werden. Außerdem bleibt das sowieso schwierige Wesen der Stochastik ohne algebraische
Beschreibung diffus im Verborgenen. Ich führe daher die algebraischen Notationen der Stochastik
grundsätzlich ein. Erst dann kann man sinnvoll Themen aus der Praxis begreifen und bearbeiten.
Als problematisch erweist sich auch (insbesondere in der Stochastik) die Buchstabenwahl für die
Variablen und Formelzeichen in den unterschiedlichen Schulbüchern. Auch hier bin ich auf der Suche
nach einer optimalen Wahl, welche ich auch bevorzugt benutze. Die begründbar optimierte Buchstabenwahl
kollidiert jedoch öfters mit den ungünstigeren Vorgaben aus der Schule. Dabei entsteht immer der
Konflikt, ob man diese wohl optimierten, oder die von den Schulbüchern gegebenen Notatationen nutzen
soll. Dem Schüler wird bei exakter Übernahme der Schulnotationen, die Verwirrung erspart, sich in
eine andere Buchstabensystematik einzugewöhnen. Auf der anderen Seite kommen manche Strukturen durch
eine bessere Buchstabenwahl viel klarer zum Vorschein. Das ist ein unlösbarer Konflikt.
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Fazit
Diese sechs Beispiele sollen verdeutlichen, dass ich bestrebt bin, die Lerninhalte in einer konsistenten
algebraischen Fassung, gemäß den internationalen Wissenschaftsnormen zu vermitteln. für
den Schüler bedeutet dies eine zukunftsfähige Begegnung mit wissenschaftlicher Arbeit in einem
zusammenhängenden und verständlichen Gesamtgebäude. Mein persönliches Interesse diese
Darstellungsform (die teilweise etwas vom Schulstil abweicht) zu wählen, beruht auch auf der Absicht,
ein eigenständiges Lehrmittelgebäude als Autor aufzubauen. Ich prüfe daher die benutzten
Notationen auf ihre Logik, Darstellungsqualität und didaktischen Potenz.
Schüler die mich mit Interesse am wissenschaftlichen Lernen und Bereitschaft zur Mitarbeit aufsuchen,
werden Gefallen an meinem Unterrichtsangebot finden. Die Erfahrung zeigt, dass sich auch ein Gewinn von zwei
bis drei Notenstufen erreichen lässt. Das ist jedoch nicht garantierbar: Es gibt Schüler denen mein
Unterrichtsangebot nicht behagt, die keinen Fleiß zeigen und wo sich auch kein persönliches
Sympathieverhältnis aufbauen lässt. Dann fallen meine Unterrichtsbemühungen meistens auch auf
weniger fruchtbaren Boden.
Eine sinnvolle pädagogische Förderung von lernschwachen Schülern ist nicht meine
Spezialität: Es gibt wissenschaftliche Untersuchungen zu speziellen Lernstörungen, wie die
Rechtschreibschwäche Legasthenie, oder Rechenschwächen, die man als Dyskalkulie bzw. Arithmasthenie
bezeichnet. Aus diesen Untersuchungen sind auch spezielle Förderungskonzepte hervorgegangen, die von
entsprechend spezialisierten Nachhilfeschulen praktiziert werden. Ich bin diesbezüglich ein Laie und
plane auch in Zukunft kein derartiges Lehrangebot.
Mein Unterrichtsstil und mein persönliches Unterrichtsinteresse spricht eher den
Leistungskursschüler an. Schüler die ein schwächeres Leistungsniveau haben, jedoch bereit
sind mitzuarbeiten, sind trotzdem herzlich willkommen. Sollten meine Unterrichtsbemühungen erfolglos
bleiben, kann ein Spezialinstitut zur Förderung lernschwacher Schüler möglicherweise bessere
Erfolge erreichen. Zu bemerken ist jedoch, dass der Unterrichtserfolg (auch in Noten) häufig nur
deswegen ausbleibt, weil die Schüler erkennbar nicht sorgfältig genug arbeiten. Eine bessere
Disziplin kann von mir jedoch lediglich angemahnt werden.
Ich sitze nicht im laufenden Schulunterricht, das heißt, dass ich nicht weiß was aktuell
bearbeitet wird. Daher muss der Schüler wissen und sagen was er lernen will. Ich weiß auch
anfänglich nicht welche Fachqualifikation und Lernfähigkeit ein Schüler mitbringt. Daher
fange ich meistens schon in der ersten Stunde an, den Schüler selbstständig Übungen machen
zu lassen. Nur so kann ich den Schüler kennen lernen und ihn sinnvoll unterstützen. Wie ich oben
erwähnt habe, gibt es manchmal begründeten Anlass vom Schulstil abzuweichen. Es ist jedoch in
vielen Fällen günstiger gemäß den Vorgaben des Schullehrers zu arbeiten. Da ich den
Lehrer und seinen individuellen Unterrichtsstil meistens nicht kenne, muss der Schüler über
das Unterrichtsgeschehen Auskunft erteilen. Üblicherweise geschieht dies, indem wir gemeinsam
die Aufzeichnungen im Schulheft und den aktuellen Lehrbuchabschnitt lesen und dann besprechen.
Schüler sollten nach Möglichkeit immer eigene Aufgaben mitbringen. Ansonsten kann ich nur
Aufgaben aus meinen Schulbüchern zum Besprechen und Üben anbieten.
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